[DX] ##1. 좌표계 변환

 

 

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*3D 그래픽스를 처음 접했을 때의 궁금증

 

 

*행렬을 사용하는 목적

=> 3차원을 표현하기에 적합하다.

=> 선형변환을 적용할 수 있다.

 

 

 

 

*선형변환이란 ??

 

 

 

간단하게 설명하자면,

 

어떤 값 : A 라고 할때,

 

A + ( 어떤 연산 ) = B

 

즉,

A 에 어떤 연산 을 적용했을 때, 모든 계산된 값은 B 이어야 한다.

이 때, 어떤 연산을 '선형' 이라고 한다.

또, 이 과정을 '선형변환' 이라고 한다.

 

 

 

벡터는 크기를 늘이고 줄일 수 있다. 또한, 방향도 가지고 있다.

어떤 벡터를 어떤 점에 적용했을 때, 이동한 점을 알 수 있고

반대로 적용한 벡터를 알고 있다면, 다시 원래대로 되돌아올 수 있다.

 

 

 

 

즉, 벡터는 명백히 '선형' 이다.

 

따라서, 벡터는 선형이고 어떤 벡터들을 어떤 점이나 다른 벡터에 적용하는 것이

선형변환이라 볼 수 있겠다.

 

 

3차원에서는 이 벡터를 3개까지 늘려서 3차원 벡터에

선형변환을 적용해 3차원 벡터를 나오게 하는 것이다.

 

 

 

 

벡터를 3개까지 늘린다고 했는데 주의해야할 것은

'각각의 벡터가 한 차원을 가리키는  기저벡터' 라는 것이다.

 

 

이것이 의미하는 것은

3개의 축으로 우리가 원하는 좌표계를 설정할 수 있고

해당 좌표계를 어떤 벡터나 다른 행렬에 적용할 수 있다는 이야기이다.

 

 

 

즉, 기준을 바꿔간다고 생각하면 된다.

 

 

 

예를 들어,

간단하게 2D 로 생각해보자.

 

 

공간  :  어떤 좌표계가 적용된 곳.

 

 

 

어떤 공간의 기준은 기존의 공간에서,

x 축으로 -5, y 축으로 2 만큼 이동한 것이라고 가정할 때,

 

우리가 알고 있는 일반적인 2D 평면에서의 ( 1, 1 ) 은

해당 공간으로 이동하게 되면 (-4, 3) 인 좌표가 된다.

 

그 공간에서의 ( 1,1 ) 은 ( -4,3 ) 이라는 소리이다.

 

이번엔 반대로,

x 축으로 5, y 축으로 -2 만큼 이동한 기준을 더하게 되면

원래 좌표인 ( 1,1 )이 된다.

( -5, 2 ) 의 역행렬은 ( 5, -2 ) 이라는 소리이다.

 

 

이제 이 과정을 3D 로 확장시키고 적용하면

그것이 3D 에서의 좌표계 변환이 된다.

 

 

 

 

 

 

 

*왜 4차원 행렬을 계산해야하는 걸까 ??

3차원이라면 3개의 축을 나타내는 3x3 행렬로 계산하면 되지 않을까 ??

 

 

 

어떤 3차원 벡터와 3차원 행렬 끼리 계산할 때,

축을 바꾸고 크기를 늘리고 줄일 수 있지만,

단지, 3차원 벡터를 이동을 해야하는 상황이라면 ??

( x,y,z ) *  (3x3 행렬)  => ( x+a, y+b, z+c ) 가 되어야하는데

일반적인 행렬 계산법으로는 저런 결과값이 나올 수가 없다.

 

하지만, 한 차원을 늘리게 되면 가능 하다.

 

( 열 벡터 기준 )

| 1,0,0,a |  *  | x |    =  | x + a |

| 0,1,0,b |      | y |    =  | y + b |

| 0,0,1,c |      | z |    =  | z + c |

| 0,0,0,1 |      | 1 |    =  | 1       |

 

만약,

 

방향을 나타내는 벡터라면 ( x,y,z,0 ) 으로 표현될 수 있다.

마지막 w = 0 이라면 a,b,c, 는 적용되지 않는다.

 

반대로 벡터를 위치로 나타내 이동계산을 하고 싶다면 w = 1 로 두면 된다.

 

즉, 이동이 적용되지 않는다는 소리.

 

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*결론

 

 

* 선형변환

 

어떤 값들에 어떤 연산이 적용될 때, 어떤 값들에 대한 어떤 연산의 값이 항상 같다면,

선형변환이라고 말할 수 있다.

 

 

 

 

* 좌표계 변환

 

3차원의 축, 점 들을 표현하기 위해 벡터를 사용,

벡터를 표현하기 위해 행렬을 사용하고

그와 동시에 행렬이 선형변환 역할까지 수행.

 

 

좌표계를 표현한 행렬들을 이용해

어느 하나의 점이 화면에 그려지기까지의 일련의 과정.

 

 

 

 

 

*하나의 점이 화면에 보여지기까지의 과정

 

 

LocalSpace -> WorldSpace -> ViewSpace -> ClipSpace, NDC -> ScreenSpace

 

해당 과정을 하나하나 살펴보자.

 

 

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